Friday, May 26, 2006

función matemática

Preguntas sobre el aspecto matemático que permitirá resolver parte del problema planteado en el ABP CONTAMINACIÓN.

1) ¿Qué es una función? Sus elementos y denotación.

Una operación definida con anticipación que realiza operaciones matemáticas, lógicas, estadísticas o financieras.

Utilizando una Gráfica para Definir una Función

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función. Es importante recordar que para definir una función, el conjunto de pares ordenados debe obedecer la regla que establece que dos pares ordenados no deben tener el mismo primer elemento. Por lo tanto, una línea vertical no puede intersectar la gráfica de una función en mas de un punto.

Figuras:

La figura 1 define una función, mientrás que la figura 2 no define una función.

Está información ha sido extraída el día 25/05/06. A más información buscar en la página Web:

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#func

1.1) ¿Qué es un par ordenado? ¿Cómo se grafica?

Un par ordenado es una tupla ordenada de dos elementos, separados por una coma: (a, b). Como es ordenado, no es lo mismo (a, b) que (b, a).

Página consultada el día 29/05/06. Citas y referencias bibliográficas.

es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado

Se gráfica de la siguente manera:

Llamamos a la coordenada de un punto a cada punto en la recta numérica asociado con un número real. Un par ordenado es un par de números a y b con elementos escritos en forma significante. Dos pares ordenados son iguales si tienen el mismo primer elemento y el mismo segundo elemento.


Por ejemplo:
El par ordenado (4, 5) es igual al par ordenado (4, 5).

Los números en un par ordenado son llamados
coordenadas. En el par (7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5.

Ya hemos visto en la primera sección cómo se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes. Veamos el siguiente grágico:

Gráfica:

Está información ha sido extraída el día 25/05/06. A más información buscar en la página Web:

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#func

Partes de un par ordenado

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componente

Segundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

A es el primer componente del primer conjunto y;

B como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemáticamente esto se expresa:

A×B= {(x, y) x∑ A, y∑ B}

Y se lee:

A cruz B es igual al par ordenado x coma y tal que x pertenece a A, Y pertenece a B.

Está información ha sido extraída el día 25/05/06.A más información buscar en la página Web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

1.2 ¿Qué es el eje de coordenadas?

En un plano P escojamos un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. La horizontal se llama el eje x y la vertical el eje y.

Ejes de coordenadas

Ahora tomamos un sistema lineal de coordenadas sobre cada una de ellas, con las condiciones siguientes: El orígen para ambas será el punto 0 donde se cortan. El eje x está orientado de izquierda a derecha y el eje y de abajo hacia arriba. La parte del eje x con coordenadas positivas (la derecha) se llama eje x positivo y la parte del eje y con coordenadas positivas (superior) se llama eje y positivo.

1.3 ¿Qué es una relación?

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

'Aplicaciones matemáticas'

Está imformación ha sido extraída el día 25/05/06. A más información buscar en la página Web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

1.4 ¿Qué formas hay de representar una relación o una función?

Algunas formas especiales de representar una función.

De igual manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos.

Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:


Representación de una función, como por ejemplo:

a) La forma sagital

b) Plano Cartesiano:

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

c) Diagrama de caminos.

d) Una tabla de valores.

X

Y

-1

1

0

0

1/2

1/4

1

1

2

4

  • Una frase que exprese la relación entre ambas variables

Citas y referencias bibliográficas, buscador; "google".

Página consultada el día 30/05/06. A más información buscar en :

http://olmo.cnice.mecd.es/~agog0016/paginas/otras_fu.htm

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm

1.5 ¿Cuáles son los tipos de función?

Tipos de funciones

  • Función inyectiva: Si cada elemento de la imagen es imagen de como máximo un único elemento del dominio. f: A → B es inyectiva \harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y ; o lo que es lo mismo: \harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)
  • Función sobreyectiva: f: A → B es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (denominado también conjunto de llegada, codominio o rango). f: A → B es sobreyectiva \harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y
  • Función biyectiva: f A → B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.
  • Función inversa: Sólo si una función f\colon A \to B es biyectiva es posible hallar su inversa f^{-1}: B \to A

Citas y referencias bibliográficas, buscador "google", wikepedia.

Página consultada el día 30/05/06. A mas información buscar en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática#Dominio_e_imagen

1.6 Explica qué es dominio y rango de una función y cómo determinarlos.

Dominio:conjunto de valores para los que una determinada función matemática.El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

Ejemplos:

.

Dominio y Rango restringidos

Se entiende por dominio de una función el conjunto de los número reales para los que la función está definida. Llamamos a esto el convenio del dominio. Si una función no está definida en x, entonces x no está en el dominio de la función. Las exclusiones más frecuentes del dominio son aquellos valores que originan una división por cero y los valores negativos bajo una raíz cuadrada. En las aplicaciones el dominio suele venir dado por el contexto. Por ejemplo, si x es el numero de personas en un ascensor, el contexto requiere que se excluya a los numeros negativos y a los no enteros; así x debe ser un entero tal que 0 £ x £ c, donde c es la capacidad máxima del ascensor.

citas y referencias bibliográficas:

páginas consultadas el día 30/05/06.A más información buscar en la página web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática#Dominio_e_imagen

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto1/punto1.html

http://148.216.10.84/DIFERENCIAL/funciones.htm#dcodominio

1.7 ¿Qué es la regla de correspondencia en una función?

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cadapareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.


La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Una regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio.

Este criterio puede estar dado de modo de extensión (indicando las condiciones que deben de cumplir los elementos) o bien puede estar dado por medio de una ecuación.

C= {(x , y) "y" es el doble de "x" y "x" å R}* o y = 2x


*Se lee "el conjunto
C está formado por las parejas (x, y) donde "y" es dos veces el valor "x" y además "x" es un elemento del conjunto de números reales.

Citas y referencias bibliográficas, buscador "google".

página consultada el día 30/05/06. A más informació buscar en:

http://html.rincondelvago.com/funcion-de-dos-variables.html http://www.zonagratuita.com/a-cursos/matematicas/lineal.html

http://discovery.chillan.plaza.cl/area_ciencias/monografias/monograf%EDa3.htm

http://entren.dgsca.unam.mx/ModMat/mm07.html

1.2 Detalla y define cada una de las clases de funciones.

FUNCIONES ELEMENTALES

TIPOFÓRMULAGRÁFICA
Constante
Lineal
Afín
Cuadrática
Polinómica
de grado 3
Polinómica
de grado 4

Proporcionalidad
Inversa
Homográfica

G1_Image15.gif (1043 bytes)

Valor Absoluto
de 1º grado
Valor Absoluto
de 2º grado
Parte Entera
Mantisa
Logarítmica
Exponencial
Trigonométricas
Directas
Trigonométricas
Inversas

Trigonométricas
Recíprocas

Citas y referencias bibliográficas, buscador "google".

Está página ha sido consultada el día 01/05/06. A más información buscar en:

http://personal5.iddeo.es/ztt/graf/G1_Graficas_elementales.htm

1.1 Determina por lo menos cinco aplicaciones prácticas de las funciones.

Aplicaciones:

1) Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.

2) Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

3) Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.

4) Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.

5) El estudio de las funciones cuadráticas, como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Citas y referencias bibliográficas, buscador "google".

Está página ha ido consultada el día 01/05/06. A más información buscar en la página Web:

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#apli

1.2 Describe y analiza las funciones lineales.

Se puede analizar como una función cuyo dominio y condominio es el conjunto de los números reales.Su describción sería que:

Esta función se denomina lineal por que su gráfico es una línea recta. Debemos saber que cada línea recta se identifica por tener una posición particular y una inclinación fija.

Citas y Referencias biblográficas.

1.3 ¿Cómo graficar una función lineal?

La representación gráfica es una recta.

De su fórmula se distinguen dos elementos:

A) pendiente

B) ordenada al origen

Geométricamente, la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas(x) y la ordenada al origen es el punto por donde intercepta la gráfica de la función al eje de ordenadas(0, b)

FUNCIÓN LINEALlineaRoja.GIF (500 bytes)

G2_Image1.gif (26159 bytes)

1.4 ¿Cómo explicaríamos la pendiente de una función lineal?

"La pendiente es la inclinación de la reta,es un numero real y se representa por laletra m."

Citas y referencias bibliográficas.

http://soko.com.ar/imagenes/Matematica/funcion/Image611.gif

1.5 Enuncia cinco aplicaciones de la función lineal o de primer grado.

Aplicación 1:

Si se contrata a una persona para que venda periódicos, revistas y se le promete que se le pagará diez soles diarios fijos y 5 soles por cada revista vendida y queremos saber cuánto va a ganar la persona en un día o más; podemos aplicar las funciones lineales.

Aplicación 2:

Aplicaríamos las funciones lineales o de primer grado si es que de repente somos negociantes y diariamente vamos a comprar al mercado, y queremos obtener la relación que existe entre el precio al que compramos los productos y el precio al que lo venderemos para obtener una buena ganancia. De esta manera podremos saber si es que nos conviene o no ese tipo de negocios.

Aplicacion 3:

También podemos usarlo para determinar el proceso que nos lleve a la construcción de la función matemática que rige en la contaminación ambiental.

Aplicacion 4:

A un vendedor de libros le prometen pagar 100 soles semanales fijos, pero también le dicen que por cada libro vendido le darán 25 soles de comisión. Aquí podemos utilizar funciones para determinar cuánto le pagarán al vendedor si es vende varios libros.

Aplicación 5:

Otro ejemplo en el que podemos utilizar las funciones lineales, es en el caso de que si queremos construir una casa; necesitamos conocer la relación que existe entre el cemento, el agua y la arena.

2) ¿Qué es una función cuadrática?

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma

f(x)= ax2+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0


La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales.


Si
a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.



A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.

f(x)= x2 - 5x + 4

f(x)= - x2 - 5x + 4

f(x)= - 2x2 - 5x + 4

Citas y referencias bibliográficas

Página visitada el día 29/05/06. A más infortmación buscar en:

http://entren.dgsca.unam.mx/ModMat/mm15.html

2.1 Describe y analiza las funciones en los casos que se presentan.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Citas y Referencias bibliográficas.

2.2 ¿Cómo determinar los interceptos con los ejes y el vértice en una función cuadrática?

Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c).

Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Citas y referencias bibliográficas

Página consultada el día 29/05/06. A mas información buscar en la página Web:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm

http://www.sectormatematica.cl/informatica/funcion.htm

3) ¿Qué es regresión lineal?

"La regresión es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables."

Citas y referencias bibliográficas, buscador "Wikepedia".

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cinematica/regresion/Cine_23.gif&imgrefurl=http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cinematica/regresion/regresion.htm&amp;amp;amp;amp;amp;amp;h=272&w=334&sz=3&hl=es&start=8&tbnid=ITCFi4NgS5NvSM:&amp;amp;amp;amp;amp;amp;tbnh=93&tbnw=115&prev=/images%3Fq%3Dregresi%25C3%25B3n%2Blineal%26svnum%3D10%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DN.

3.1 ¿Cuáles son los pasos para determinar la función a partir de un conjunto de puntos?

Uno de los primeros pasos es la representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Basta observar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.

Citas y referencias biblográficas.

Página consultada el día 29/05/06.A más información buscar en:.

http://www.eumed.net/cursecon/medir/index.

3.2 Fundamenta con 5 problemas el tema de regresión lineal

Problemas:

Los encontraremos en la siguiente página:

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node43.htm

Citas y referencias bibliográficas.

Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones.
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo

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